量 g11,g12,g22决定小杆相

对于 u 曲线和 v 曲线的行为，因而也就决定小杆相对于桌面的行为。对于所考虑

的面上的诸点相对于量杆构成一个欧几里得连续区的情况，而且只有在这个情况

下，我们才能够简单地按下式来画出以及用数字标出 u 曲线和 v 曲线：

ds2 = du2 + dv2

在这样的条件下，u 曲线和 v 曲线就是欧几里得几何学中的直线，并且它们

是相互垂直的。在这里，高斯坐标也就成为笛卡儿坐标。显然，高斯坐标只不过

是两组数与所考虑的面上的诸点的一种缔合，这种缔合具有这样的性质，即彼此

相差很微小的数值各与“空间中”相邻诸点相缔合。

到目前为止，这些论述对于二维连续区是成立的。但是高斯的方法也可以应

用到三维、四维或维数更多的连续区。例如，如果假定我们有一个四维连续区，

我们就可以用下述方法来表示这个连续区，对于这个连续区的每一个点，我们任

意地把四个数 x1,x2,x3,x4与之相缔合，这四个数就称为“坐标”。相邻的点对应于

相邻的坐标值。如果距离 ds 与相邻点 P 和 P’相缔合，而且从物理的观点来看这

个距离是可以测量的和明确规定了的，那么下述公式成立：

ds2 = g11dx1 + 2g12dx1dx2 +Λ + g44dx4
2 2



其中 g11等量的值随连续区中的位置而变。唯有当这个连续区是一个欧几里得连

续区时才有可能将坐标 x1……x4 与这个连续区的点简单地缔合起来，使得我们

有

ds2 = dx1 + dx2 + dx3 + dx4
2 2 2 2



在这个情况下，与那些适用于我们的三维测量的关系相似的一些关系就能够适用

于这个四维连续区。

但是我们在上面提出的表达 ds2的高斯方法并不是经常可能的，只有当所考

虑的连续区的各个足够小的区域被当作是欧几里得连续区时，这种方法才有可

能。例如，就大理石桌面和局部温度变化的例子而言，这一点显然是成立的。对

于石板的一小部分面积而言，温度在实际上可视为恒量；因而小杆的几何行为差

不多能够符合欧几里得几何学的法则。因此，前节所述正方形作图法的缺陷要到

这个作图扩展到了占桌面相当大的一部分时才会明显地表现出来。

我们可以对此总结如下：高斯发明了对一般连续区作数学表述的方法，在表

述中下了“大小关系”（邻点间的“距离”）的定义。对于一个连续区的每一个点

可标以若干个数（高斯坐标），这个连续区有多少维，就标多少个数。这是这样

来做的：每个点上所标的数只可能有一个意义，并且相邻诸点应该用彼此相差一

个无穷小量的数（高斯坐标）来标出。高斯坐标系是笛卡儿坐标系的一个逻辑推

广。高斯坐标系也可以适用于非欧几里得连续区，但是只有在下述情况下才可以，

即相对于既定的“大小”或“距离“的定义而言，我们所考虑的连续区的各个小

的部分愈小，其表现就愈象一个真正的欧几里得系统。


26.狭义相对论的空时连续区可以当作欧几里得连续区


现在我们已有可能更 严谨地表述闵可夫斯基的观念，这个观念在第 17 节中

只是含糊地谈到一个。按照狭义相对论，要优先用某些坐标系来描述四维空时连

续区。我们把这些坐标系称为“伽利略坐标系”。对于这些坐标系，确定一个事

件或者换言之确定四维连续区中一个点所用的四个坐标 x,y,z,t,在物理意义上具

有简单的定义，这在一书第一部分已有所详述。从一个伽利略坐标过渡到相对于

这个坐标系作匀速运动的另一个伽利略坐标系时，洛伦兹变换方程是完全有效

的。这些洛伦兹变换方程构成了从狭义相对论导出推论的基础，而这些议程的本

身也只不过是表述了光的传播定律对于一切伽利略参考系的普适有效性而已。

闵可夫斯基发现洛伦兹变换满足下述简单条件。我们考虑两个相邻事件，这

两个事件在四维连续区中的相对位置，是参照伽利略参考物体 K 用空间坐标差

dx,dy,dz 和时间差 dt 来表示的。我们假定这两具事件参照另一个伽利略坐标系的

差相应地 dx’,dy’,dz’,dt’。那么这些量总是满足条件。

dx2 + dy2 + dz2 c2dt2 = dx′2 + dy′2 + dz′2 c2dt′2

洛伦兹变换的有效性就是由这个条件来确定，对此我们又可以表述如下：

属于四维空时连续区的两个相邻点的这个量

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 c2dt2

对于一切选定的（伽利略参考物体，皆具有相同的值。如果我们用 x1,x2,x3,x4

代换 x,y,z， 1ct ，我们也得出这样的结果，即

ds2 = dx1 + dx2 + dx3 + dx4
2 2 2 2



与参考物体的选取无磁疗。我们把量 ds 称为两个事件或两个四维点之间的

“距离”。

因此，如果我们不选取实量 t 而先取虚变量 1ct 作为时间变量，我们就可

以——按照狭义相对论——把空时连续区当作一个“欧几里得”四维连续区，这

个结果可以由前节的论述推出。


27. 广义相对论的空时连续区不是欧几里得连续区


在本书的第一部分，我们能够使用可以对它作简单而直接的物理解释的空时

坐标，而且，按照第 26 节，这种空时坐标可以被看作四维笛卡儿坐标：我们能

够这样做，是以光速恒定定律为基础的。但是按照第 21 节，广义相对论不能保

持这个定律。相反，按照广义相对论我们得出这样的结果，即当存在着一个引力

场时，光速必须总是依赖于坐标。在第 23 节讨论一个具体例子时，我们发现，

曾经使我们导致狭义相对论的那种坐标和时间的定义，由于引力场的存在而失效

了。

鉴于这些论述的结果，我们得出这样的论断，按照广义相对论，空时连续区

不能被看作一个欧几里得连续区；在这里只有相当于具有局部温度变化的大理石

板的普遍情况，我们曾把它理解力一个二维连续区的例子。正如在那个例子里不

可能用等长的杆构成一个笛卡儿坐标系一样，在这里也不可能用刚体和钟建立这

样一个系统（参考物体），使量杆和钟在相互地作好刚性安排的情况下可用以直

接指示位置和时间。这是我们在第 23 节中所遇到的困难的实质所在。

但是第 25 节和第 26 节的论述给我们指出了这个困难的道路。对于四维空时

连续区我们可以任意利用高斯坐标来作参照。我们用四个数 x1,x2,x3,x4（坐标）

标出连续区的每一个点（事件），这些数没有丝毫直接的物理意义，其目的只是

用一种确定而又任意的方式来标出连续区的各点。四个数的排列方法甚至无需一

定要把 x1,x2,x3当作“空间”坐标把 x4 当作“时间”坐标。

读者可能会想到，这样一种，世界的描述是十分不够格的。如果 x1,x2,x3,x4

这些特定的坐标本身并无意义，那么我们用这些坐标标出一个事件又有什么意

义？但是，更加仔细的探讨表明，这种担忧是没有根据的。例如我们考虑一个正

在作任何运动的质点。如果这个点的存在只是瞬时的，并没有一个持续期间，那

么这个点在空时中即由单独一组 x1,x2,x3,x4的数值来描述。因此，如果这个点的

存在是永久的，要描述这个点，这样的数值组就必须有无穷多个，而且其坐标值

必须紧密到能够显示出连续性；对应于这个质点，我们就在四维连续区中有一根

（一维的）线。同样，在我们的连续区中任何这样的线，必然也对应于许多运动

的点，以上对于这些点的陈述中实际上只有关于它们的会合的那些陈述才称得起

具有物理存在的意义。用我们的数学论述方法来说明，对于这样的会合的表述，

就是两根代表所考虑的点的运动的线中各有特别的一组坐标值 x1,x2,x3,x4是彼此

共同的。经过深思熟虑以后，读者无疑将会承认，实际上这样的会合构成了我们

在物理陈述中所遇到的具有时空性质的唯一真实证据。

当我们相对于一个参考物体描述一个质点的运动时，我们所陈述的只不过是

这个点与这个参考物体的各个特定的点的会合。我们也可以借助于观察物体和钟

的会合，井协同观察钟的指针和标度盘上特定的点的会合来确定相应的时间值。

使用量杆进行空间测量时情况也正是这样，这一点稍加考虑就会明白。

下面的陈述是普遍成立的：每一个物理描述本身可分成许多个陈述，每一个

陈述都涉及 A 、B 两事件的空时重合。从高斯坐标来说，每一个这样的陈述，

是用两事件的四个坐标 x1,x2,x3,x4相符的说法来表达的；因此实际上，使用高斯

坐标所作的关于时空连续区的描述可以完全代替必须借助于一个参考物体的描

述，而且不会有后一种描述方式的缺点；国为前一种描述方式不必受所描述的连

续区的欧几里得特性的限制。


28.广义相对性原理的严格表述


现在我们已经有可能提出广义相对性原理的严格表述来代替第 18 节中的暂

时表达。第 18 节中所用的表述形式是，“对于描述自然现象（表述普遍的自然界

定律）而言，所有参考物体 K、K’等都是等效的，不论它们的运动状态如何，”

这个表述形式是不能够保持下去的，因为，按照狭义相对论的观念所推出的方法

使用刚性参考物体作空时描述，一般说来是不可能的，必须用高斯坐标系代替参

考物体。下面的陈述才与广义相对性原理的基本观念相一致：“所有的高斯坐标

系对于表述普遍的自然界定律在本质上是等效的。”

我们还可以用另一种形式来陈述这个广义相对性原理。用这种形式比用狭义

相对性原理的自然推广形式更加明白易懂，按照狭义相对论，当我们应用洛伦兹

变换，以一个新的参考物体 K’的空时变量 x’,y’,z’,t’代换一个（伽利略）参考物

体 K 的空时变量 x,y,z,t 时，表述普遍的自然界定律的方程经变换后仍取同样的

形式。另一方面，按照广义相对论，对高斯变量 x1,x2,x3,x4应用任意代换，这些

方程经变换后仍取同样的形式；因为每一种变换（不仅仅是洛伦兹变换）都相当

于从一个高斯坐标系过渡到另一个高斯坐标系。

如果我们愿意固执我们“旧时代”的对事物的三维观点，那么我们就可以对

广义相对论的基本观念目前发展的特点作如下的描述，狭义相对论和伽利略区域

相关，亦即和其中没有引力场存在的区域相关。就此而论，一个伽利略参考物体

在充当着参考物体，这个参考物体是一个刚体，其运动状态必须选择得使“孤立”

质点作匀速直线运动的伽利略定律相对于这个刚体是成立的。

从某些考虑来看，我们似乎也应该把同样的伽利略区域引入于非伽利略参考

物体。那么相对于这些物体就存在着一种特殊的引力场（见第 20 节和第 28 节），

在引力场中，并没有象具有欧几里得性质的刚体那样的东西；因此，虚设的

刚性参考物体在广义相对论中是没有用处的。钟的这动也受引力场的影响，由于

这种影响，直接借助于钟而作出的关于时间的物理定义不可能达到狭义相对论中

同样程度的真实感。

由于这个缘故，我们使用非刚性参考物体，这些物体整个说来不仅其运动是

任意的，而且在其运动过程中可以发生任何形变。钟的运动可以遵从任何一种运

动定律，不论如何不规则，但可用来确定时间的定义。我们想象每一个这样的钟

是在非刚性参考物体上的某一点固定着。这些钟只满足这样的一个条件，即从（空

间中）相邻的钟同时观测到的“读数”彼此仅相差一个无穷小量。这个非刚性参

考物体（可以恰当地称作”软体动物参考体”）基本上相当于一个任意选定的高

斯四维坐标系。与高斯坐标系比较，这个“软体动物”所具有的某些校易理解之

处就是形式上保留了空间坐标和时间坐标的分立状态（这种保留实际上是不合理

的）.我们把这个软体动物上的每一点当作一个空间点，相对于空间点保持静止

的每一个质点就当作是静止的，如果我们把这个软体动物视为参考物体的活。广

义相对性原理要求所有这些软体动物都可以用作参考物体来表述普遍的自然界

定律，在这方面，这些软体动物具有同等的权利，也可以取得同样好的结果；这

些定律本身必须不随软体动物的选择而变易。

由于我们前面所看到的那些情况，广义相对性原理对自然界定律作了一些广

泛而具明确性的限制，广义相对性原理所具有的巨大威力就在于此。


29.在广义相对性原理的基础上解引力问题


如果读者对于前面的论述已经全部理解，那么对于理解引力问题的解法，就

不会再有困难。

我们从考察一个伽利略区域开始，伽利略区域就是相对于伽利略参考物体 K

其中没有引力场存在的一个区域。量杆和钟相对于 K 的行为已从狭义相对论得

知，同样，“孤立”质点的行为也是已知的；后者沿直线作匀速运动。

我们现在参照作为参考物体 K’的一个任意高斯坐标系或者一个“软体动物”

来考察这个区域。那么相对于 K'，就存在着一个引力场 G（一种特殊的引力场）。

我们只利用数学变换来察知量杆和钟以及自由运动的质点相对于 K’的行为。