我

们把这种行为解释力量杆、钟和质点在引力场 G 的影响下的行为。此处我们引

进一个假设：引力场对量杆、钟和自由运动的质点的影响将按照同样的定律继续

发生下去，即使当前存在着的引力场不能简单地通过坐标变换从伽利略的特殊情

况推导出来。

下一步是研究引力场 G 的空时行为，引力场 G 过去是简单地通过坐标变换

由伽利略的特殊情况导出的。将这种行为表述为一个定律，不论在描述中所使用

的参考物体（软体动物）如何选定，这个定律始终是有效的。

然而这个定律还不是普遍的引力场定律，固为所考虑胁引力场是一种特殊的

引力场。为了求出普遍的引力场定律。我们还需要将上述定律加以推广，这一推

广可以根据下述要求妥善地得出： 、

（1）所要求的推广必须也满足广义相对性公设。

（2）如果在所考虑的区域中有任何物质存在，对其激发一个场的效应而言，

只有它的惯性质量是重要的，按照第 15 节，也就是只有它的能量是重要的。

（3）引力场加上物质必须满足能量（和冲量）守恒定律。

最后，广义相对性原理使我们能够确定引力场对于不存在引力场时按照已知

定律已在发生的所有过程的整个进程的影响，这样的过程也就是已经纳入狭义相

对论的范围的过程，对此，我们原则上按照已对量杆。钟和自由运动的质点解释

过的方法去进行。

照这样从广义相对性公设导出的引力论，其优越之处不仅在于它的完美性；

不仅在于消除第 21 节所显示的经典力学所带的缺陷；不仅在于解释惯性质量和

引力质量相等的经验定律；而且也在于它已经解释了经典力学对之无能为力的一

个天文观测结果。

如果我们把这个引力论的应用限制于下述的情况，即引力场可以认为是相当

弱的，而且在引力场内相对于坐标系运动着的所有质量的速度与光速比较都是相

当小的，那么，作为第一级近似我们就得到牛顿的引力理论。这样上牛顿的引力

理论在这里无需任何特别的假定就可以得到，而牛顿当时却必须引进这样的假

设，即相互吸引的质点问的吸引力必须与质点问的距离的平方成反比、如果我们

提高计算的精确度，那么它与牛顿理论下一致的偏差就会表现出来，但是由于这

些偏差相当小；实际上都必然是观测所检验不出来的。

过里我们必须指出过些偏差中的一个提请读者注意。按照牛领的理论，行星

沿椭圆轨道绕日运行，如果我们能够略而不计恒星本身的运动以及所考虑的其他

行星的作用，这个椭圆轨道相对于恒星的位置将永久保持不变。因此，如果我们

改正所观测的行星运动而把这两种影响消去，而且如果牛顿的理论真能严格正

确，那么我们所得到的行星轨道就应该是一个相对于恒星系是固定不移的椭圆轨

道。这个可以用相当高的精确以验证的推断，除了一个行星之外；对于所有其他

的行全而言，己经得到了证实，其精确度是目前可能获致的观测灵敏度所能达到

的精确度。唯一例外的就是水星，它是离太阳最近的行星。从轨韦里耶（Leverrier）

的时候起人们就知道，作为水星轨道的椭圆，经过改正消去上述影响后，相对于

恒星系并不是固定不移的，而是非常缓慢地在轨道的平面内转动，并且顺着沿轨

道的运动时方向转动。所得到的这个轨道椭圆的这种转动的值是每世纪 43"（角

度），其误差保证下会超过几秒（角度）.经典力李解释这个效应只能借助于设立

假设，而这些假设是下大可能成立的，这些假设的设立仅仅是为了解释这个效应

而已。

根据广义相对论，我们发现，每一个绕日运行的行星的椭圆轨道，都必然以

上述方式转动；对于除水星以外的所有其他行星而言，这种转动都大小，从现时

可能达到的观测灵敏度是无法探测的；但是对于水星而言，这个数值必须达到每

世纪 43"这个结果与观测严格相符。

除此以外，到目前为止只可能从广义相对论得出两个可以由观测检验的推

论，即光线因太阳引力场而发生弯曲，以及来自世大星球的光的谱线与在地球上

以类似方式产生的（即由同一种原子产生的）相应光谱线比较，有位移现象发生。

从广义相对论得出的这两个推论都已经得到证实。



第三部分 关于整个宇宙的一些考虑


30.牛顿理论在宇宙论方面的困难


经典天体力学除了存在着第 21 节所讨论的困难之外，还存在着另一个基本

困难，根据我的了解，天文学家希来哲（Seeliger）第一个对这个基本困难进行

了详细的讨论。如果我们仔细地考虑一下这个问题：对于宇宙，作为整体而言，

我们应持何种看法；那么我们所想到的第一个月答一定是：航空间（和时间）而

言，宇宙是无限的。到处都存在着星体，因此，虽然就细微部分说来物质的密度

变化很无但平均说来是到处一样的，换言之，我们在宇宙空间中无论走得多么远，

都会到处遇到稀薄的恒星群，这些恒星群的种类和密度差不多都是一样的。

这个看法与牛顿的理论是下一致的。牛顿理论要求宇宙应具有某种中心，处

在这个中心的星群密度最大，从这个中心向外走，诸星的群密度逐渐减小，直到

最后，在非常遥远处，成为一个无限的空虚区域。恒星宇宙应该是无限的空间海

洋中的一个有限的岛屿。

这个概念本身已不很令人满意。这种概念更加不能令人满意的是由于它导致

了下述结果：从恒星发出的光以及恒星系中的各个个别恒星不断奔向无限的空

间，一去不返，而且永远不再与其他自然客体相互发生作用；这样的一个有限的

物质宇宙将注定逐渐而系统地被削弱。

为了避免这种两难局面，希来哲对牛顿定律提出了一项修正，其中假定，对

于很大的距离而言，两质量之间的吸引力比按照平方反比定律得出的结果减小得

更加快些。这样，物质的平均密度就有可能处处一样，甚至到无限远处也是一样。

而不会产生无限大的引力场。这样我们就摆脱了物质宇宙应该具有某种象中心之

类的东西的这种讨厌的概念。当然，我们摆脱上述基本困难是付出了代价的，“这

就是对牛顿定律进行了修改井使之复杂化，而这种修改和复杂化既无经验根据亦

无理论根据）我们能够设想出无数个可以实现同样目的的“定律，而不能举出理

由说明为什么其中一个定律比其他定律更为可取；因为这些定律中的任何一个，

与牛顿定律相比，并没有建立在更为普遍的理论原则上。


31.一个“有限”而又“无界”的宇宙的可能性


但是，对宇宙的构造的探索同时也沿着另一个颇不相同的方向前进。非欧几

里得几何学的发展导致了对于这样一个事实的认识，即我们能对我们的宇宙空间

的无限性表示怀疑，而不会与思维的规律或与经验发生冲突（黎曼、亥姆霍兹）。

亥姆霍兹和潘加里（Poincare）已经以无比的明晰性详细地论述了这些问题，我

在这里只能简单地提一下。

首先我们设想在二维空间中的一种存在。持有扁平工具（特别是扁平的刚性

量杆）的扁平生物自由地在一个平面上走动，对于它们来说，在这个平面之外没

有任何东西存在；它们所观察到的它们自己的和它们的扁平的“东西”的一切经

历，就是它们的平面所包含着的全部实在，具体言之，例如欧几里得平面几何学

中的一切作图都可以借助于杆子来实现，亦即利用在第 24 节所已讨论过的格子

构图法。与我们的宇宙对比，这些生物的宇宙是二维的；但同我们的宇宙一样，

它们的宇宙也延伸到无限远处。在它们的宇宙中有足够的地方可以容纳无限多个

用杆于构成的互相等同的正方形；亦即它们的字宙的容积（面积）是无限的。如

果这些生物说它们的宇宙是“平面”的，那么这句话是有意义的，因为它们的意

思是它们能用它们的杆子按照欧几里得平面几何学作图。这里，各个个别杆子永

远代表同一距离，而与其本身所处的位置无关。

现在让我们考虑一下另一种二维的存在，不过这次是在一个球面上而不是在

一个平面上。这种扁平生物连同它们的量杆以及其他的物体，与这个球面完全贴

合，而且它们不可能离开这个球面。因而它们所能观察的整个宇宙仅仅扩展到整

个球面。这些生物能否认为它们宇宙的几何学是平面几何学，它们的杆子同样又

是其“距离”的实在体现呢？它们不能这样做。因为如果它们想实现一根直线，

它们将地得到一根曲线，我们“三维生物”把这根曲线称作一个大圆，亦即具有

确定的有限长度的、本身就是完整独立的线，其长度可以用量杆测定。同样，这

个宇宙的面积是有限的，可以与用杆子构成的正方形的面积相比较。从这种考虑

得出的极大妙处在于承认了这样一个事实，即这些生物的琮宙是有限的，但又是

无界的。

但是这些球面生物无需作世界旅行就可以认识到它们所居住的不是一个欧

几里得宇宙。在它们的“世界”的各个部分它们都能够弄清楚这一点，只要它们

所使用的部分不太小就可以了。从一点出发，它们向所有各个方向画等长的“直

线”（由三维空间判断是圆的弧段）。它们会把连接这些线的自由端的线称作一个

“圆”。按照欧几里得平面几何学，平面上的圆的圆周与直径之比（圆周与直径

的长度用同一根杆子测定）等于常数π这个常数与圆的直径大小无关。我们的扁

平生物在它们的球面上将会发现圆周与直径之比有以下的值。

sin r

π R
rR

亦即一个比π小的值，圆半径与“世界球”半径 R 之比俞大，上述比值与π之

差就愈加可观。借助于这个关系，球面生物就能确定它们的宇宙（“世界”）的半

径，即使它们能够用来进行测量的仅仅是它们的世界球的比较小的二部分。但是

如果这个部分的确非常小，它们就下再能够证明它们是居住在一个球面“世界”

上，而不是居住在一个欧几里得平面上，因为球面上的微小部分与同样大小的一

块平面仅有极微细的差别，

因此，如果这些球面生物居住在一个行星上，这个行星的太阳系仅占球面宇

宙内的小到微不足道的一部分，那么这些球面生物就无法确定它们居住的宇宙是

有限的还是无限的，因为它们所能接近的“一小块宇宙”在这两种情况下实际上

都是平面的；或者说是欧几里得的。从这个讨论可以直接推知，对于我们的球面

生物而言，。＝个圆的回周起先随着半径的增大而增大，直到达到“宇宙圆周”

为止，其后圆周随着半径的值的进一步增大而逐渐减小以至于零，在这个过程中，

回的面积继续不断地增大，直到最后等于整个“世界球”的总面积为止。

或许读者会感到奇怪，为什么我们把我们的”生物”放在一个球面上而不放

在另外一种闭合曲面上。但是由于以下事实，这种选择是有理由的，在所有的闭

合曲面中，唯有球面具有这种性质；即该曲面上所有的点都是等效的，我承认，

一个圆的圆周（与其半径矿的比取决于人但是，对于一个给定的 T 的值而言；

这个比对于“世界球”上所有的点都是一样的；换言之，这个“世界球”是一个

“等曲率曲面”。

对于这个二维球面宇宙，我们有一个三维比拟，这就是黎曼发现的三维球面

空间。它的点同样也都是等效的。这个球面空间具有一个有限的体积，由其“半

径”确定之（2π2R3），能否设想一个球面空间呢？设想一个空间只不过是意味

着我们设想我们的“空间”经验的一个模型，这种“空间”经验是我们在移动“刚”

体时能够体会到的。在这个意义上我们能够设想一个球面空音。

设我们从一点向所有各个方向画线或拉绳索，并用一根量杆在每根线或绳索

上量取距离 r。这些具有长度 r 的线或绳索的所有的自由端点都位于一个球面上。

我们能够借助于一个用量杆构成的正方形用特别方法把这个曲面的面积（F）测

量出来，如果这个宇宙是欧几里得宇宙，则 ；如果这个宇宙是球面宇宙，

那么 F 就总是小于 4πr2。随着 r 的值的增大，F 从零增大到一个最大值，这个

最大值是由“世界半径”来确定的，但随着 r 的值的进一步增大，这个面积就会

逐渐缩小以至于零。起初，从始点辐射出去的直线彼此散开而且相距越来越远，

但后来又相互趋近，最后它们终于在与始点相对立的“对立点”上再次相会。在

这种情况下它们穿越了整个球面空间。不难看出，这个三维球面空间与二维球面

十分相似。这个球面空间是有限的（亦即体积是有限的），同时又是无界的。

可以提一下，还有另一种弯曲空间：“椭圆空间”。可以把“椭圆空间”看作

这样的弯曲空间，即在这个空间中两个“对立点”是等样的（不可辨别的）.因

此，在某种程度上可以把椭圆宇宙当作一个具有中心对称的弯曲宇宙。

由以上所述可以推知，无界的闭合空间是可以想象的。在这类空间中，球面

空间（以及椭圆空间）在其简单性方面胜过其他空间，因为其上所有的点都是等

效的。由于这个讨论的结果，对天文学家和物理学家提出了一个非常有趣的问题：

我们居住的宇宙是无限的，抑或象球口宇宙那样是有限的呢？我们的经验远远不

足以使我们能够回答这个问题，但是广义相对论使我们能够以一定程度的确实性

回答应个问题；这样，第 30 节所提到的困难就得到了解决。


32.以广义相对论为依据的空间结构


根据广义相对沦，空间的几何性质并不是独立的；确是由物质决定的，因此，

我们只有已知物质的状态并以此为依据进行考虑才能对宇宙的几何结构作出论

断。根据经验我们知道，对于一个适当选定的坐标系而言，诸星的速度比起光的

传播速度来是相当小的。因此，如果我们将物质看作是静止的，我们就能够在粗

略的近似程度上得出一个关于整个宇宙的性质的结论。