从我们前面的讨论已经知道，量杆和钟的行为受引力场的影响，亦即受物质

分布的影响。这一点本身就足以排除欧几里得几何学在我们的宇宙中严格有效的

这种可能性，但是可以想象，我们的字宵与一个欧几里得宇宙仅有微小的差别，

而且由于计算表明，甚至象我们的太阳那样大的质量对于周围的空间的度规的影

响也是极其微小的，因而上述看法就显得越发可靠。我们可以设想，就几何学而

论，我们的宇宙的性质与这样的一个曲面相似，这个曲面在它的各个个别部分上

是下规则地弯曲的，但整个曲面没有什么地方与一个平面有显著的差别，就象是

一个有细微波坟的湖面，这样的字宙可以恰当地称为椎欧几里得宇宙。就其空间

衍育，这个宇宙是无限的。但是计算表明，在一个准欧凡里得宇宙中物质的平均

密度必然要等于零。因此这样的宇宙不可能处处有物质存在；呈现在我们面前的

将是我们在第 30 节中所描绘的那种不能令人满意的景象。

如果在这个宇宙中我们有一个不等于零的物质平均密度，那么，不论这个密

度与零相差多么小，这个宇宙就不可能是是准欧几里得的。相反，计算的结果表

明，如果物质是均匀分布的，宇宙就必然是球形的（或椭圆的）。由于实际上物

质的细微分布不是均匀的，因面实在的宇宙在其各个个别部分上会与球形有出

入，亦即宇宙将是准球形的。但是这个宇宙必然是有限的。实际上这个理论向我

们提供了宇宙的空间文度与宇宙的物质平均密度之间的简单关系。

附 录


一、洛伦兹变换的简单推导


[补充第 11 节]

按照图 2 所示两坐标系的相对取向，该两坐标系的 x 轴永远是重合的。在这

个情况下我们可以把问题分为几部分，首先只考虑 x 轴发生的事件。任何一个这

样的事件，对于坐标系 K 是由横坐标 x 和时间 t 来表示，对于坐标系 K’则由横

坐 x’和时间 t’来表示。当给定 x 和 t 时，我们要求出 x’和 t’。

沿着正 x 轴前进的一个光信号按照方程

或 x = ct

x ct = 0 （1）

传播。由于同一光信号必须以速度 c 相对于 K’传播，因此相对于坐标系 K’的传

播将由类似的公式

x′ ct′ = 0 （2）

表示。满足（1）的那些空时点（事件）必须也满足（2），显然这一点是成立的，

只要关系

(x′ct′)= λ(xct) （3）

一般满足，其中λ 表示一个常数；因为，按照（3），（xct ）等于零时（x′ct′）

就必然也等于零。

如果我们对尚着负 x 轴传播的光线应用完全相同的考虑，我们就得到条件

(x′+ct′)= (x+ct) （4）

方程（3）和（4）相加（或相减），并为方便起见引入常数 a 和 b 代换常数λ

和 ，令

a = λ +
2
λ
以及 b =
2
我们得到方程

ct′ = act bx
x′ = ax bct
（5）


因此若常数 a 和 b 为已知，我们就得到我们的问题的解。a 和 b 可由下述讨

论确定。

以于 K’的原点我们永远有 x’=0，因此按照（5）的第一个方程

x = bc t
a
如果我们将 K’的原点相对于 K 的运动的速度称为 v，我们就有

v = bc
（6）
a
同一量值 v 可以从议程（5）得出，只要我们计算 K’的另一点相对于 K

的速度，或者计算 K 的一点相对于 K’的速度（指向负 x 轴）。总之，我们可以指

定 v 为两坐标系的相对速度。

还有，相对性原理告诉我们，由 K 判断的相对于 K’保持静止的单位量

杆的长度，必须恰好等于由 K’判断的相对于 K 保持静止的单位量杆的长度。为

了看一看由 K 观察 x’轴上的诸点是什么样子，我们只需要从 K 对 K’拍个“快照”；

这意味着我们必须引入 t（K 的时间）的一个特别的值，例如 t=0，对于这个 t 的

值，我们从（5）的第一个方程就得到

x′ = ax

因此，如果在 K’坐标系中测量，x’轴上两点相隔的距离为x =1，该两点在

我们的瞬时快照中相隔的距离就是

x = 1
（7）
a
但是如果从 K’(t’=0)拍取快照，而且如果我们从方程（5）消去 t 考虑到表示

式（6），我们得到

x′ = a1 v2 x
c2

由此我们推断，在 x 轴上相隔距离 1（相对于 K）的两点，在我们的快照上

将由距离

x′ = a1 v2
（7a）
c2

表示。

但是根据以上所述，这两个快照必须是全等的；因此（7）中的x 必须等于

（7a）中的x′，这样我们就得到


a2 = 1
（7b）
1 v2
c2

方程（6）和（7b）决定常数 a 和 b。在（5）中代入这两个常数的值，我们

得到第 11 节所提出的第一个和第四个议程：

x′ = x vt
v2
1

（8）
t v c2
x
t′ = c2
1 v2
c2

这样我们就得到了对于在 x 轴上的洛伦兹变换。它满足条件

x′2 c2t′2 = x2 c2t2 （8a）

再把这个结果加以推广，以便将发生在 x 轴外面的事件也包括进去。此项推

广只要保留方程（8）并补充以关系式


z′ = z
y′ = y （9）


就能得到。

这样，无论对于坐标系 K 或是对于坐标系 K’，我们都满足了任意方向的光

线在真空中速度不变的公设。这一点可以证明如下。

设在时间 t=0 时从 K 的原点发出一个光信号。这个光信号将按照议程

r = x2 + y2 + z2 = ct

传播，或者，如果方程两边取平方，按照方程

x2 + y2 + z2 c2t2 = 0 （10）

传播。

光的传播定律结合着相对性公设要求所考虑的信号（从 K’去判断）应用按

照对应的公式

或 r′ = ct′

x′2 + y′2 + z′2 c2t′2 = 0 （10a）

传播为了使方程（10a）可以从方程（10）推出，我们必须有

x′2 + y′2 + z′2 c2t′2 = a x2 + y2 + z2 c2t2
( ) （11）

由于方程（8a）对于 x 轴上的点必须成立，因此我们有σ =1，不难看出，

对于σ =1，洛伦兹变换确实满足（11）；因为（11）可以由（8a）和（9）推出，

因而也可以由（8）和（9）推出。这样我们就导出了洛伦兹变换。

由（8）和（9）表示的洛伦兹变换仍需加以推广。显然，在选择 K’的轴时

是否要使之与 K 的轴在空间中相互平行是无关重要的。同时，K’相对于 K 的平

动速度是否沿 x 轴的方向也是无关紧要的。通过简单的考虑可以证明，我们能够

通过两种变换建立这种广义的洛伦兹变换，这两种变换就是狭义的洛伦兹变换和

纯粹的空间变换，纯粹的空间变换相当于用一个坐标轴指向其他方向的新的直角

坐标系代换原有的直角坐标系。

我们可以用数学方法，对推广了的洛伦庇变换的特性作如下的描述：

推文了的洛伦兹变换就是用 x,y,z,t 的线性齐次函数来表示 x’,y’,z’,t’,而这种

线性齐次函数的性质又必须能使关系式

x′2 + y′2 + z′2 c2t′2 = x2 + y2 + z2 c2t2 （11a）

恒等地被满足。也就是说：如果我们用这些 x,y,z,t 的线性齐次函数来代换在（11a）

左连所列的 x’,y’,z’,t’,则（11a）的左边与其右边完全一致。


二、闵可夫斯基四维空间（“世界”）


[补充第 17 节]

如果我们引用虚量 1 ct 代替 t 作为时间变量，我们就能够更加简单地表

述洛伦兹变换的特性。据此，如果我们引入

x1 = x
x2 = y
x3 = z
x4 = 1ct

对带撇号的坐标系 K’也采取同样的方式，那么为洛伦兹变换公式所恒等地满足

的必要条件可以表示为：

x1′2 + x2′2 + x3′2 + x′4 = x1 + x2 + x3 + x4
2 2 2 2 2 （12）

亦即通过上述“坐标”的选用，（11a）就变换为这个方程。

我们从（12）看到，虚值时间坐标 x4与空间坐标 x1,x2,x3,是以完全相同的方

式进入这个变换条件中的。正是由于这个事实，所以按照相对论来说，“时间”x4

应与空间坐标 x1,x2,x3,以同等形式进入自然定律中去。

用“坐标” x1,x2,x3,x4 描述的四给连续区，谅可夫斯基称之为“世界”，他

并且把代表某一事件的点称作“世界点”。这样，三维空间中发生的“事件”按

照物理学的说法就成为四维“世界”的一个“存在”。

这个四维“世界”与（欧几里得）解析几何学的三维“空间”很近似。如果

我们在这个“空间”引入一个具有同一原点的新的笛卡儿坐标系（x’1,x’2,x’3）那

么 x’1,x’2,x’3就是 x1,x2,x3的线性齐次函数，并且恒等地满足方程

x1′2 + x2′2 + x3′2 = x1 + x2 + x3
2 2 2



这个议程与（12）完全类似。我们可以在形式上把闵可夫斯基“世界”看作（具

有虚恰时间坐标的）四维欧几里得空间；洛伦兹变换相当于坐标系在四维“世界”

中的“转动”。


三、广义相对论的实验证实


从系统的理论观点来看，我们可以设想经验科学的进化过程是一个连续的归

纳过程，理论发展起来并以经验定律的形式简洁地综合概括了大量的个别观察的

结果，再从这些经验定律，通过比较推敲，确定普遍定律。根据这种看法，科学

的发展有些象编纂分类目录。这好象是一种纯粹经验性的工作。

但是这种观点绝不能概括整个实际过程；因为这种观点忽视了在严正科学

（严格正确的科学，特别指数学一类的科学，——译者注）的发展过程中直观和

演绎思考所起的重要作用。一门科学一经走出它的初始阶段，理论的发展就不再

仅仅依靠一个排列的过程来实现而是研究人员受到经验数据的启发而建立起一

个思想体系；一般来说，这个思想体系在逻辑上是用少数的基本假定，即所谓公

理，建立起来的。我们将这样的思想体系称力理论。理论有存在的必要的理由乃

在于它能把大量的个别观察联系起来，而理论的“真实性”也正在于此。